Question

已知A为射线x+y=0（x＜0）上的动点，B为x轴正半轴上的动点，若直线AB与圆x²+y²=1相切，则|AB|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：设切点为（m，n），则切线方程为mx+ny=1，求出|AB|，再三角换元，即可得出结论．

解答： 解：设切点为（m，n），则切线方程为mx+ny=1，
∵A为射线x+y=0（x＜0）上的动点，B为x轴正半轴上的动点，
∴A（

1

m-n

，

1

n-m

），B（

1

m

，0），
∴|AB|²=（

1

m-n

-

1

m

）²+（

1

n-m

）²=

1

m2(n-m)2

，
∴|AB|=

1

m(n-m)

，
设m=cosα，n=sinα（α∈（

π

4

，

π

2

），则）|AB|=

1

1 2 sin2α- 1+cos2α 2

=

2

2 sin(2α- π 4 )-1

∵α∈（

π

4

，

π

2

），∴2α-

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴|AB|≥

2

2 -1

=2

2

+2．
∴|AB|的最小值为2

2

+2．
故答案为：2

2

+2．

点评：本题考查圆的切线，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，有难度．