Question

【题目】设集合A是实数集R的子集，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，则称x0为集合A的聚点，给出下列集合（其中e为自然对数的底）：①{1+ |x＞0}；②{2x|x∈N}；③{x2+x+2|x∈R}；④{lnx|x＞0且x≠e}，其中，以1为聚点的集合有（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①{1+ |x＞0}中的元素构成以1为极限的数列，故对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a成立，符合题意；
②{2x|x∈N}，y=2x是单调增函数，对任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，不符合题意；
③{x2+x+2|x∈R}，∵x2+x+2≥ ，对任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，不符合题意；
④{lnx|x＞0且x≠e}，lnx≠1，满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，故此集合以1为聚点符合题意，
故选：D．
【考点精析】通过灵活运用子集与真子集，掌握任何一个集合是它本身的子集；n个元素的子集有2n个,n个元素的真子集有2n －1个,n个元素的非空真子集有2n－2个即可以解答此题．