Question

【题目】若对一切正实数x，t，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 都成立，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[﹣3，3]
【解析】解：∵ ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立，∴ ≥asinx+cos2x恒成立．
∵ ≥2 =3，∴asinx+cos2x≤3恒成立．即sin2x﹣asinx+2≥0恒成立．
令sinx=m，则m2﹣am+2≥0在[﹣1，1]上恒成立．
令f（m）=m2﹣mt+2，则f（m）图象开口向上，对称轴为m= ．（1）若 ≤﹣1，即a≤﹣2时，f（m）在[﹣1，1]上是增函数，
∴fmin（m）=f（﹣1）=3+a≥0，解得﹣3≤a≤﹣2．（2）若 ≥1，即a≥2，则f（m）在[﹣1，1]上是减函数，
∴fmin（m）=f（1）=3﹣a≥0，解得2≤a≤3．（3）若﹣1＜ ＜1，即﹣2＜a＜2，则f（m）在[﹣1，1]上先减后增，
∴fmin（m）=f（ ）=2﹣ ≥0，解得﹣2＜a＜2．
综上，a的取值范围是[﹣3，3]．
所以答案是：[﹣3，3]．