Question

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.
          
图1            图2                图3                        图4
（1）求出,,,;
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：().

Answer 1

（1）12,27,48,75.
（2）， ．
（3）利用“放缩法”。．

解析试题分析：（1）由题意有
，
，
，
，
．                              2分
（2）由题意及（1）知，，    4分
即，
所以，
，
，
，                           5分
将上面个式子相加，得：


                                               6分
又，所以．                    7分
（3）
∴．            9分
当时，，原不等式成立．        10分
当时，，原不等式成立．   11分
当时，



， 原不等式成立．                 13分                                                   
综上所述，对于任意，原不等式成立．         14分
考点：归纳推理，不等式的证明，“裂项相消法”。
点评：中档题，本题综合性较强，注意从图形出发，发现规律，确定“递推关系”。不等式的证明问题，往往需要先放缩，后求和，再证明。