Question

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（3）设与轴交于点，不同的两点在上（与也不重合），且满足，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用直线与圆相切列出距离公式，求出椭圆中的基本量，比较简单；第二问，考查抛物线的定义，本问主要考查理解题意的能力；第三问，与向量相结合，再加上基本不等式求最值.
试题解析：（1）由直线与圆相切，得，即.
由，得，所以，所以椭圆的方程是. （4分）
（2）由条件，知，即动点到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点的轨迹的方程是.（6分）
（3）由（2）知，设，
∴
由，得，
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立.
又，
∵，∴当，即时，.
故的取值范围是.(12分)