Question

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（1）当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，f（x）=x²|x-2|
当x＜2时，由f（x）=x²（2-x）=x，解得x=0或x=1；
当x≥2时，由f（x）=x²（x-2）=x，解得x=1+

2

．
综上，所求解集为{0，1，1+

2

}
（Ⅱ）设此最小值为m．
①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

2

3

a）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，∴m=f（1）=1-a．
②当1＜a≤2时，在区间[1，2]上，f（x）=x²|x-a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²=3x（

2

3

a-x）．
若a≥3，在区间（1，2）上，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=a-1．
若2＜a＜3，则1＜

2

3

a＜2．
当1＜x＜

2

3

a时，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，

2

3

a]上的增函数，
当

2

3

a＜x＜2时，f'（x）＜0，则f（x）是区间[

2

3

a，2]上的减函数，
因此当2＜a＜3时，故m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当2＜a≤

7

3

时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2），
当

7

3

＜a＜3时，4（a-2）＜a-1，故m=f（1）=a-1．
总上所述，所求函数的最小值m=

1-a，a≤1 0，1＜a≤2 4(a-2)，2＜a≤ 7 3 a-1，a＞ 7 3

．