Question

【题目】已知函数.

(1)若f (x)在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若a＝0，x0<1，设直线y＝g(x)为函数f (x)的图象在x＝x0处的切线，求证:f (x)≤g(x).

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对恒成立，推出，即可求出的范围；（2）利用，化简，通过函数在处的切线方程为，讨论当时， ；当时，利用分析法证明；构造函数 ，求出，构造新函数，利用公式的导数求解函数的最值，然后推出结论.

试题解析：(1)解　易知f ′(x)＝－，

由已知得f ′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，

故x≤1－a对x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1.

即实数a的取值范围为(－∞，－1].

(2)证明　a＝0，则f (x)＝.

函数f (x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f (x0).

令h(x)＝f (x)－g(x)＝f (x)－f ′(x0)(x－x0)－f (x0)，x∈R，

则h′(x)＝f ′(x)－f ′(x0)＝－＝.

设φ(x)＝(1－x)ex0－(1－x0)ex，x∈R，

则φ′(x)＝－ex0－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，

∴φ(x)在R上单调递减，而φ(x0)＝0，

∴当x<x0时，φ(x)>0，当x>x0时，φ(x)<0，

∴当x<x0时，h′(x)>0，当x>x0时，h′(x)<0，

∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，

∴x∈R时，h(x)≤h(x0)＝0，

∴f (x)≤g(x).