Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且对任意的正整数n都有．
（1）求a₁，a₂及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=1，当n≥2时，，证明：当n≥2时，=；
（3）在（2）的条件下，试比较与4的大小关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用及其等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）得出当n≥2时，，的表达式，相减即可得出；
（3）当n≥2时，，可得．利用（2）及“累乘求积”、“放缩法”、“裂项求和”即可得出．
解答：解：（1）∵，∴a₁=1，）
又由，∴a₂=2，
又当n≥2时，，，
两式相减得
∴a_n+a_n-1=2n-1（n≥2）
又a_n+1+a_n=2n+1（n≥1），两式相减得a_n+1-a_n-1=2（n≥2）
即数列{a_n}的奇数项是首项为1，公差为2等差数列；
偶数项是首项为2，公差为2等差数列．
∴a_2n-1=2n-1，a_2n=2n
∴a_n=n．
（2）当n≥2时，①
②
由②-①得．
（3）当n=1时，，当n=2时，
∴
当n≥2时，，∴
当n≥3时，=
=
=
=
==．
点评：熟练掌握利用及其等差数列的通项公式求a_n、变形利用“累乘求积”、“放缩法”、“裂项求和”等方法是解题的关键．