Question

【题目】如图所示，异面直线，互相垂直，，，，，，截面分别与，，，相交于点，，，，且平面，平面.

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．

（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正切值．

详解：（1）∵平面，

又∵平面，平面平面.

∴，同理，

∵，，，

∴，∴.

同理.

∴，同理.

又∵，是平面内的两相交直线.

∴平面.

（2）由（1）及异面直线，互相垂直知，直线，，两两垂直.

作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，

∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，

∵，∴.

得，即，

又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为.

∴，得，即，

设锐二面角的大小为，

那么，

∴

∴二面角的正切值为.