Question

设点P在曲线y=

1

2

e^x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A、1-ln 2
• B、

  2

  （1-ln 2）
• C、1+ln 2
• D、

  2

  （1+ln 2）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据互为反函数的两个函数的图象之间的关系，得到：两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=

1

2

e^x上点的最小距离的2倍．然后，利用导数在函数y=

1

2

e^x上求解切点，使得它与直线y=x平行，最后借助于点到直线的距离公式，求解最小距离．

解答： 解：由题意知函数y=

1

2

e^x与y=ln（2x）互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=

1

2

e^x上点的最小距离的2倍．
设y=

1

2

e^x上点（x₀，y₀）处的切线与直线y=x平行，
则

1

2

e^x₀=1，
∴x₀=ln 2，y₀=1，
∴点（x₀，y₀）到y=x的距离为

|ln2-1|

2

=

2

2

（1-ln 2），
则|PQ|的最小值为

2

2

（1-ln 2）×2=

2

（1-ln 2）．
故选：B．

点评：本题综合考查了互为反函数的图象之间的关系，导数的几何意义等知识，属于综合性题目，难度中等．