Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设（k∈N^*）．
①证明：；
②求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2时，由，
得（n+1）a_n=na_n+1．
若存在a_m=0（m＞1），由ma_m-1=（m-1）a_m，m≠0，得a_m-1=0，
从而有a_m-2=0，，a₂=0，a₁=0，与a₁=1矛盾，所以a_n≠0．
从而由（n+1）a_n=na_n+1得，
得．
（Ⅱ）证明：∵4n²-1＜4n²，
∴（2n-1）（2n+1）＜4n²?（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1）．
∴，
∴．
分析：（Ⅰ）由题意可知（n+1）a_n=na_n+1．若存在a_m=0（m＞1），可推出a_m-1=0，从而a₁=0，与a₁=1矛盾，所以a_n≠0．由（n+1）a_n=na_n+1得，所以．
（Ⅱ）由4n²-1＜4n²，得（2n-1）（2n+1）＜4n²?（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1）．所以，从而能够证明
．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．