Question

【题目】已知函数，.

（I）讨论函数的零点个数；

（Ⅱ）若曲线在点处的切线经过点，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 当或时，有一个零点；当或时，有两个零点.( Ⅱ) .

【解析】

（I）求导，对a分类讨论，根据导函数的正负研究 的单调性及最值，结合的极限，即可求解函数零点的个数；（Ⅱ）由题意可得p＞0，化简原不等式，设，其中x∈[1，+∞），求得导数，讨论p的范围，判断单调性，即可得到所求范围．

（I）函数的定义域为，

求导，得，

当时，，所以在上单调递增，

且，所以有一个零点；

当时，，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

，

设 ，则，

，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

，

当时，，所以有一个零点；

当及时，，且当时，；

当时，，所以有两个零点.

综上所述：当或时，有一个零点；

当或时，有两个零点.

（Ⅱ）曲线在点处的切线为，即，

由题意得，解得，

所以，

由题意知，当时，，所以，

从而当时，，

由题意知，即，其中，

设，其中，

设，即，其中，

则，其中，

①当时，因为 ，所以是增函数，

从而当时，，

所以是增函数，从而.

故当时符合题意；

②当时，因为时，，所以在区间上是减函数，

从而当时，，

所以在上是减函数，从而，

故当时不符合题意.

③当时，因为时，，所以是减函数，

从而当时，，

所以是减函数，从而，

故当时不符合题意，

综上，p的取值范围是 。