Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦点F₁的坐标为（-1，0），已知椭圆E上的一点到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F₂作一条倾斜角为

π

4

的直线交椭圆于C、D，求△CDF₁的面积；
（Ⅲ）设点P（4，t）（t≠0），A、B分别是椭圆的左、右顶点，若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N，求证∠MBP为锐角．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据左焦点F₁的坐标为（-1，0），椭圆E上的一点到F₁、F₂两点的距离之和为4，求出求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线CD方程为y=x-1，将直线方程代入椭圆方程，求出|CD|，点F₁到直线CD的距离，可求△CDF₁的面积；
（Ⅲ）根据P、A、M三点共线，可得kPA=kMA⇒

t

6

=

y0

x0+2

⇒t=

6y0

x0+2

，再利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知：2a=4，即a=2，∴c²=1，b²=3
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，…（3分）
（Ⅱ）由已知得直线CD方程为y=x-1，将直线方程带入椭圆方程得：7x²-8x-8=0…（4分）
设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

…（5分）
则|CD|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 8 7 )2+4• 8 7

…（7分）
点F₁到直线CD的距离是d=

|-1-1|

2

=

2

…（8分）
所以S△CDF1=

1

2

|CD|d=

12

7

2

…（9分）
（Ⅲ）A（-2，0），B（2，0）．
设M（x₀，y₀），则-2＜x₀＜2
因为点M在椭圆上，所以

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)…（10分）
因为P、A、M三点共线，所以kPA=kMA⇒

t

6

=

y0

x0+2

⇒t=

6y0

x0+2

…（11分）
所以

BM

=(x0-2，y0)，

BP

=(2，

6y0

x0+2

)
所以

BM

•

BP

=

5

2

（2-x₀）＞0…（13分）
所以∠MBP为锐角…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．