Question

函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x∈R总有f(x)≤f(

π

3

)成立；
（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；
（2）试比较f(

b

a

)与f(

c

a

)的大小关系．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）图象过原点可得f（0）=0，由对任意x∈R总有f(x)≤f(

π

3

)及最大值为1得f（

π

3

）=1，且有f′（

π

3

）=0，联立方程组可解；
（2）由（1）可知a=

3

b、c=-b，f(

π

3

)=2b+c为最大值，从而知b＞0，a＞0，而

b

a

=

3

3

、

c

a

=-

3

3

，利用作差f(

b

a

)-f(

c

a

)=2asin

3

3

可比较大小；

解答： 解：（1）由题意，得

f(0)=b+c=0 f( π 3 )= 3 2 a+ b 2 +c=1 f′( π 3 )= a 2 - 3 2 b=0

，
解得a=

3

，b=1，c=-1，
∴f(x)=

3

sinx+cosx-1．
（2）由（1）可知a=

3

b、c=-b，
∴

b

a

=

3

3

，

c

a

=-

3

3

，
∴f(

b

a

)-f(

c

a

)=2asin

3

3

，
∴f(

b

a

)-f(

c

a

)＞0，即f(

b

a

)＞f(

c

a

)．

点评：本题考查三角函数的性质、导数的应用、三角函数值的大小比较，考查学生综合运用知识解决问题的能力．