【题目】已知椭圆:的离心率,且过焦点的最短弦长为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线与曲线交于不同的两点、,求的内切圆半径的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)利用离心率,过焦点最短的弦为通径以及解方程组即可求解.
(2)根据椭圆的定义设的内切圆的半径最大转化为最大,,由题意知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为,将直线与椭圆方程联立,利用韦达定理代入面积式转化为关于的表达式,借助函数的单调性即可求解.
(1)由题意可得,解得,,.
故椭圆的标准方程为.
(2)设,,设的内切圆的半径为,
因为的周长为,,
因此最大,就最大.
,
由题意知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为,
由得,
所以,.
又因直线与椭圆交于不同的两点,故,
即,,
则.
令,则,
,
令,
由函数的性质可知,函数在上是单调递增函数,
即当时,在上单调递增,因此有,所以,
即当,时,最大,此时,
故当直线的方程为时,内切圆半径的最大值为.
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【题目】西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来,斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变,斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”.
但作为交通重要参与者的行人,闯红灯通行却频有发生,带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低,交警部门在某十字路口根据以往的检测数据,得到行人闯红灯的概率约为0.4,并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯情况得到列联表如下:
30岁以下 | 30岁以上 | 合计 | |
闯红灯 | 60 | ||
未闯红灯 | 80 | ||
合计 | 200 |
近期,为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为,交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚,并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查,得到下表:
处罚金额(单位:元) | 5 | 10 | 15 | 20 |
闯红灯的人数 | 50 | 40 | 20 | 0 |
将统计数据所得频率代替概率,完成下列问题.
(Ⅰ)将列联表填写完整(不需写出填写过程),并根据表中数据分析,在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前,是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关;
(Ⅱ)当处罚金额为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少;
(Ⅲ)结合调查结果,谈谈如何治理行人闯红灯现象.
参考公式: ,其中
参考数据:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.132 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,点的坐标为,抛物线的方程为,过作动直线交抛物线于两点,设线段的中点为.
(1)若与重合,求直线的方程;
(2)求直线的斜率的取值范围.
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【题目】已知函数,给出下列四个结论:
①函数的最小正周期是
②函数在区间上是减函数
③函数的图像关于点对称
④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
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【题目】某校学生会为了解高二年级600名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况(每名学生最多参加7场).随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下:
参加场数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
占调查人数的百分比 | 8% | 10% | 20% | 26% | 18% | m% | 4% | 2% |
则以下四个结论中正确的是( )
A.表中m的数值为10
B.估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为108人
C.估计该年级参加中华传统文化活动场数不低于4场的学生约为216人
D.若采用系统抽样方法进行调查,从该校高二600名学生中抽取容量为30的样本,则分段间隔为15
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【题目】已知圆O;x2+y2=4,F1(-1,0),F2(1,0),点D圆O上一动点,2=,点C在直线EF1上,且=0,记点C的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程;
(2)已知N(4,0),过点N作直线l与曲线W交于A,B不同两点,线段AB的中垂线为l',线段AB的中点为Q点,记P与y轴的交点为M,求|MQ|的取值范围.
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【题目】为响应党中央号召,学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛。现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,王同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求王同学至少取到2道乙类题的概率;
(Ⅱ)如果王同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立,已知王同学恰好选中2道甲类题,1道乙类题,用表示王同学答对题的个数,求随机变量的分布列和数学期望.
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