Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：连接BD．
在正方体AC₁中，对角线BD∥B₁D₁．
又因为E、F为棱AD、AB的中点，
所以EF∥BD．
所以EF∥B₁D₁．（4分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，
所以EF∥平面CB₁D₁．（7分）
（Ⅱ）因为在长方体AC₁中，
AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁⊥B₁D₁．（10分）
又因为在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．（12分）
又因为B₁D₁?平面CB₁D₁，
所以平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．（14分）
分析：（Ⅰ）欲证EF∥平面CB₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB₁D₁内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B₁D₁，又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁内一直线与平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，则AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，满足线面垂直的判定定理则B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，而B₁D₁?平面CB₁D₁，满足定理所需条件．
点评：本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．