Question

21．（本题满分12分）

已知实数为常数，函数．

（Ⅰ）若曲线在处的切线过点A，求实数值；

（Ⅱ）若函数有两个极值点．

求证：，②求证：.

Answer 1

（1）,(2)证明见解析；

【解析】

试题分析：已知曲线在某点的切线过点A，应先求切线方程，利用导数的几何意义，求出斜率，利用点斜式写直线方程，又过点A，满足直线方程，求出A；第二步①函数有两个极值点说明有两个不等实根，问题转化为研究函数的图象与x轴何时有两个交点问题，对函数求导，在上研究函数的单调性与极值，经过对A的分类讨论发现，当A<0时，先减后增有极大值，当极大值大于零时，的图象与x轴有两个交点，解出A的范围，问题获得证明；②借助①的结论当时，有两个极值点，通过列表观察的符号与函数的单调性，由于，而在上为增函数，说明，即，问题得证；

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由已知:,切点，

切线方程:,把代入得:

（Ⅱ）①证明：依题意:有两个不等实根，设 则:

(ⅰ)当时:,所以是增函数,不符合题意;

(ⅱ)当时:由得:

列表如下:

		0
	↗	极大值	↘

=,解得:

② 证明： 由①知:变化如下:

		0	+	0
	↘	极小值	↗	极大值	↘

由表可知:在上为增函数,又 ,故

所以：

即，．

考点：导数的应用