Question

17．设a≥0，若y=sin²x-acosx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求出使y取得最大、最小值时的x值．

Answer 1

分析 原函数变形为y=sin²x-acosx+b=1-cos²x-acosx+b=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，根据它的最值、利用二次函数的性质、分类讨论求得a、b的值．

解答 解：原函数变形为y=sin²x-acosx+b=1-cos²x-acosx+b
=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1
∵-1≤cosx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，当cosx=-$\frac{a}{2}$时，
y_max=1+b+$\frac{a^2}{4}$=0     ①，
当cosx=1时，y_min=-${（1+\frac{a}{2}）^2}+1+b+\frac{a^2}{4}$=-a+b=-4         ②，
联立①②式解得a=2，b=-2，
y取得最大、小值时的x值分别为：x=2kπ-π（k∈Z），x=2kπ（k∈Z），
若a＞2时，$\frac{a}{2}$∈（1，+∞）
∴y_max=-${（1-\frac{a}{2}）^2}+1+b+\frac{a^2}{4}=a+b$=0  ③
y_min=-${（1+\frac{a}{2}）^2}+1+b+\frac{a^2}{4}=-a+b=-4$④
由③④得a=2时，舍去，
综上所述a=2，b=-2，y取得最大、小值时的x值分别为：x=2kπ-π（k∈Z），x=2kπ（k∈Z），

点评 本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题