Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=$\sqrt{2}$m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$（2-$\sqrt{2}$）m
• B． $\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{2}$）m
• C． $\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）m
• D． $\frac{1}{6}$（2+$\sqrt{2}$）m

Answer 1

分析 此球内切于四棱锥时，半径最大，设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则V_P-ABCD=V_O-ABCD+V_O-PAD+V_O-PAB+V_O-PBC+V_O-PCD，由此能求出此球的最大半径．

解答 解：由题知，此球内切于四棱锥时，半径最大，
设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，
连接OA，OB，OC，OD，OP，
则V_P-ABCD=V_O-ABCD+V_O-PAD+V_O-PAB+V_O-PBC+V_O-PCD，
即$\frac{1}{3}$×m²×m=$\frac{1}{3}$×m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×m²×r，
解得r=$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）m，
所以此球的最大半径是$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）m．
故选：C．

点评 本题考查球的最大半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．