Question

3．当x＞1时不等式$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}≥a$恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． [3，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 化简不等式的左侧，利用基本不等式求出表达式的最小值，然后求出a的范围．

解答 解：当x＞1时，表达式$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）（\frac{1}{x-1}）}$+1=3，当且仅当x=2时取等号．
当x＞1时，不等式$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}≥a$恒成立，则实数a的取值范围是a≤3．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．