Question

10．设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x²-2x-3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x₁，x₂，且满足：-1＜x₁＜2＜x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数，利用函数的解析式，化简表达式，通过比较系数，求出函数的解析式．
（2）利用二次函数根与系数的关系，列出不等式，求解a的范围即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
则f（x+1）+f（x）=2ax²+（2a+2b）x+a+b+2c=2x²-2x-3…3分
所以$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ 2a+2b=-2\\ a+b+2c=-3\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，c=-1，
从而f（x）=x²-2x-1…7分
（2）令g（x）=f（x）-a=x²-2x-1-a=0
由于-1＜x₁＜2＜x₂，所以$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（2）＜0\end{array}\right.$…10分
解得-1＜a＜2…14分．

点评 本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．