Question

5．已知两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），动点M满足直线MA₁与MA₂的斜率之积是定值$\frac{m}{4}$（m≠0）．
（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
（2）若m=-3，过点F（-l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S_l，△OED（O为坐标原点）的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S_l=S₂？说明理由．

Answer 1

分析 （1）设动点M（x，y），依题意有$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}=\frac{m}{4}$，（m≠0），由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状．
（2）m=-3时，动点M的轨迹 方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2），设设AB方程为y=k（x+1），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用根与系数之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）设动点M（x，y），依题意有$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}=\frac{m}{4}$，（m≠0），
整理，得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$，m≠2．
∴动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{m}=1，x≠±2$．
m＞0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
m∈（-4，0）时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
m=-4时，轨迹是圆，
m∈（-∞，-4）时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在曲线上．
（2）m=-3时，动点M的轨迹 方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2），
假设垂直直线AB，使S_l=S₂，显然直线AB不能与x，y轴垂直，
∴直线AB的斜率存在且不为0，
设AB方程为y=k（x+1），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1并整理得（3+4k²）x²+8kk²x+4k²-12=0
设A（x_E1E，y_E1E），B（x_E2，y_E2），
则x_E1E+x_E2=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_E1E+y_E2=$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，

则G（$\frac{-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$），
∵DG⊥AB，
∴$\frac{\frac{3k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{-4k}{3+4{k}^{2}}-{x}_{D}}$•k=-1，
解得x_ED=-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即D（-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
∵△GFD～△OED，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（\frac{|DG|}{|OD|}）^{2}$，
又S_l=S₂，∴|DG|=|OD|，
∴$\sqrt{（\frac{-{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{3k}{3+4{k}^{2}}）^{2}}$=|-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$|，
整理得8k²+9=0，
∵此方程无解，
∴不存在直线AB，使S_l=S₂

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，利用直线和圆锥曲线的位置关系转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强运算量较大．