Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°，
(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(Ⅱ)设AB=AP，
(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A， 所以AB⊥平面PAD， 又AB平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD。

(Ⅱ)解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz(如图)， 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD， 在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°=1，CE=CD·sin45°=1， 设AB=AP=t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)， 由AB+AD=4得AD=4-t， 所以E(0，3-t，0)，C(1，3-t，0)，D(0，4-t，0)， ， (i)设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)， 由，得， 取x=t，得平面PCD的一个法向量n=(t，t，4-t)， 又， 故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得， 即，解得或t=4(舍去，因为 AD=4-t＞0)， 所以。 (ii)假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 设G(0，m，0)(其中0≤m≤4-t)， 则， 由得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2，即t=3-m；(1) 由得(4-t-m)2=m2+t2， (2) 由(1)、(2)消去t，化简得m2-3m+4=0， (3) 由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G， 使得点G到点P，C，D的距离都相等． 从而，在线段AD上不存在一个点G， 使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．