Question

如图，一张平行四边形的硬纸片中，，．沿它的对角线把折起，使点到达平面外点的位置．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）当二面角为时，求的长。

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为，

，所以．

　　　因为折叠过程中，，

　　　所以，又，故平面．

　　　又平面，

　　　所以平面平面．

（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知，，

　　　所以是二面角的平面角．由已知得，．

　　　作，垂足为，

　　　由

　　　可得，．

　　　连结，在中，

　　　．

　　　因为平面平面，

　　　所以平面，可知．

　　　在中，．

　　　解法二：由已知得．以为原点，射线，分别为，轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，．

由（Ⅰ）知，，所以为二面角的平面角．

　　　由已知可得，

　　　所以．

　　　所以，

　　　即的长为2．