Question

（2012•枣庄一模）

∫

1 0

4-x2

dx=

3

2

+

π

3

．

Answer 1

分析：[解法一]令x=2cosα，则f（x）=

4-x2

=2sinα，α∈[0，π]．原积分可化为

∫

π 3 π 2

2sinαd(2cosα)，利用积分公式化简并求出原函数，再代入数据即可得到原式的值．
[解法二]作出函数y=

4-x2

的图象，可得所求积分是函数图象位于[0，1]的曲线在x轴投影所成的面积，利用含有30°角直角三角形的性质，结合扇形面积公式求出图中阴影部分的面积，即可得到本题的积分值．

解答：解：[解法一]令x=2cosα，则f（x）=

4-x2

=2sinα，α∈[0，π]
∴

∫

1 0

4-x2

dx=

∫

π 3 π 2

2sinαd(2cosα)=2

∫

π 3 π 2

(cos2α-1)dα
=2（

1

2

sin2α-α+C）

|

π 3 π 2

  （其中C为常数）
=2（

1

2

sin

2π

3

-

π

3

+C）-2（

1

2

sinπ-

π

2

+C）=

3

2

+

π

3

[解法二]令y=

4-x2

，得函数的图象是以原点为圆心，
半径为2的圆的上半圆，
如图所示，

∫

1 0

4-x2

dx表示函数图象位于[0，1]上的曲线在x轴投影所成的面积
∵Rt△OBC中，OC=1，OB=2
∴BC=

2 2+1 2

=

3

，∠BOC=

π

3

，得∠AOB=

π

2

-

π

3

=

π

6

∵S=S_△OBC+S_扇形AOB=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×

π

6

=

3

2

+

π

3

故答案为：

3

2

+

π

3

点评：本题通过求一个定积分的值，考查了定积分的公式与运算法则、定积分的几何意义和三角函数的公式等知识，属于基础题．