Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为正方形BCC₁B₁的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论；
（2）取A₁C中点O，连接OF，OA，则∠AOA₁为异面直线A₁C与EF所成角，由余弦定理，可得结论；
解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求出结论．

解答：解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．
∵F为BCC₁B₁中心，E为AB中点．
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=

2

．
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH=

FH

EH

=

1

2

=

2

2

．…（6分）
（2）取A₁C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．
∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．
∴∠AOA₁为异面直线A₁C与EF所成角．
∵A₁A=2，AO=A₁O=

3

．
∴△AOA₁中，由余弦定理得cos∠A₁OA=

1

3

．…（12分）
解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B₁（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A₁（0，2，2）．
（1）

EF

=（1，-1，1），

BB1

=（0，0，2），且

BB1

为平面ABCD的法向量．
∴cos＜

EF

，

BB1

＞=

3

3

．
设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．
∴sinθ=

3

3

，从而tanθ=

2

2

．…（6分）
（2）∵

A1C

=（2，-2，-2），∴cos＜

CA1

，

EF

＞=

1

3

．
∴异面直线A₁C与EF所成角的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．