Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

(sin2x-cos2x)，x∈[

π

4

， 

π

2

]．
（1）求f(

5π

12

)的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的解析式，代入所给的自变量的值，计算出结果，本题也可以先化简再代入数值进行运算．
（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．
（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．

解答：解：（1）f(

5π

12

)=2sin2(

π

4

+

5π

12

)+

3

(sin2

5π

12

-cos2

5π

12

)=3． 
（2）f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)．         
又 x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
当

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

2

时，f（x）单调递增；
 当

π

2

≤2x-

π

3

≤

2π

3

时，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是[

π

4

，

5π

12

]；
f（x）的单调递减区间是[

5π

12

，

π

2

]． 
（3）由（2）得 2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]．
|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]．
∴m＞f（x）_max-2且 m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．

点评：本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的最值，本题解题的关键是正确整理出函数的最简结果，本题的难度和高考卷中出现的题目的难度相似．