Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且

S

2 n

-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{

1

Sn-1

}是等差数列；
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（1）n分别取1，2，代入计算，可求a₁，a₂；
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入条件，即可证得数列{

1

Sn-1

}是等差数列；
（3）根据（2）的结论，利用点叠乘法，即可得到结论．

解答：（1）解：当n=1时，由已知得a12-2a1-a12+1=0，解得a1=

1

2

同理，可解得a2=

1

6

                              …（4分）
（2）证明：由题设

S

2 n

-2Sn-anSn+1=0
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=

1

2-Sn-1

，∴

1

Sn-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴{

1

Sn-1

}是首项为

1

S1-1

=-2，公差为-1的等差数列         …（9分）
∴

1

Sn-1

=-2+（n-1）•（-1）=-n-1
∴S_n=

n

n+1

  …（11分）
（3）解：S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₁•S₂₀₁₂=

1

2

•

2

3

•

3

4

…•

2011

2012

•

2012

2013

=

1

2013

 （13分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查叠乘法，属于中档题．