Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（ ，1），离心率为 ，直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使 + 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得e= = ，

点（ ，1）代入椭圆方程，可得 + =1，

又a2﹣b2=c2，

解得a= ，b= ，

则椭圆C的方程为 + =1，

即x2+3y2=5；

（2）解：在x轴上存在点M（ ，0），使 + 是与k无关的常数．

证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使 + 是与k无关的常数，

将直线l的方程y=k（x+1），代入椭圆方程x2+3y2=5，

得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由 =（x1﹣m，y1）， =（x2﹣m，y2），

可得 + =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2+

=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1+1）（x2+1）+

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2+

=（k2+1） ，+（k2﹣m）（﹣ ）+k2+m2+

= ，

设常数为t，则 =t，

整理得（3m2+6m﹣1﹣3t）k2+m2﹣t=0对任意的k恒成立，

即有 ，解得m= ，

即在x轴上存在点M（ ，0），使 + 是与k无关的常数

【解析】（1）利用椭圆的离心率公式，将点（ ，1）代入椭圆方程，求得椭圆的a，b，即可求椭圆的方程；（2）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（m，0），利用韦达定理，向量的数量积的坐标表示，由恒成立思想，建立方程组，即可求得结论．