Question

若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．有下列函数：
①f(x)=

1

x

；②f(x)=2x；
③f（x）=lg（x²+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为______．

Answer 1

（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1
即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=

1

x

∉M．
（2）D=R，则存在实数x₀，使得2x0+1=2x0+2解得x₀=1，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=2^x∈M．
（3）若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x²+2）∉M
④存在x=

1

3

使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
综上可知②④中的函数属于集合
故答案为：②④