Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，直线l₁、l₂分别过点A、B且与x轴垂直，点（1，e）和（2，0）均在椭圆上，其中e为椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上不同于点A、B的任意一点，直线AP与l₂交于点D，直线BP与l₁于点E，线段OD和OE分别与椭圆交于点R，G．
（ⅰ）是否存在定圆与直线DE相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）求证：

1

OG2

+

1

OR2

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

1 a2 + c2 a2b2 =1 a=2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）（ⅰ）设点P（m，n），则

m2

4

+n2=1(m≠±2)，由已知条件求出直线DE的方程为(

n

m+2

+

n

m-2

)x-y+

2n

m+2

-

2n

m-2

=0，由此能证明定圆x²+y²=4与DE相切．
（ⅱ）由已知条件得OD⊥OE，设OG的斜率是k，则由y=kx与x²+4y²=4联立得到（1+4k²）x²=4，由此能证明

1

OG2

+

1

OR2

=

5

4

为定值．

解答： （1）解：椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点（1，e）和（2，0）均在椭圆上，
∴

1 a2 + c2 a2b2 =1 a=2

，解得b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（2分）
（2）（ⅰ）解：存在定圆x²+y²=4与DE相切，证明如下．
设点P（m，n），则

m2

4

+n2=1(m≠±2)．…（3分）
直线AD的斜率为

n

m+2

，直线AD的方程为y=

n

m+2

(x+2)，
令x=2，得D点坐标为(2，

4n

m+2

)．…（4分）
直线BE的斜率为

n

m-2

，直线BE的方程为y=

n

m-2

(x-2)，
令x=-2，得E点坐标为(-2，-

4n

m-2

)．…（5分）
由此可得直线DE的方程为(

n

m+2

+

n

m-2

)x-y+

2n

m+2

-

2n

m-2

=0
原点O到直线DE的距离：
d=

| 2n m+2 - 2n m-2 |

( n m+2 + n m-2 )2+1

=

| 8n m2-4 |

( 2mn m2-4 )2+1

=

| 8n -4n2 |

( 2mn -4n2 )2+1

=

| 2 n |

( m 2n )2+1

=

| 2 n |

m2+4n2 4n2

=

| 2 n |

4 4n2

=2，
∴定圆x²+y²=4与DE相切．…（8分）
（ⅱ）证明：∵kOD•kOE=

2n

m+2

•

2n

m-2

=

4n2

m2-4

=-1，
∴OD⊥OE，…（9分）
设OG的斜率是k，则由y=kx与x²+4y²=4联立得到（1+4k²）x²=4，
∴

1

OG2

=

1

(1+k2)x2

=

1+4k2

4(1+k2)

．…（11分）
用-

1

k

代替k，得

1

OR2

=

1+ 4 k2

4(1+ 1 k2 )

=

k2+4

4(1+k2)

，…（12分）
∴

1

OG2

+

1

OR2

=

5

4

．
∴

1

OG2

+

1

OR2

为定值．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查定圆与直线相切的判断与定圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．