Question

已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边，关于x的方程b（x²+1）+c（x²-1）-2ax=0 有两个相等的实根，且sinCcosA-cosCsinA=0，试判定△ABC的形状．

Answer 1

分析：由已知方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0列出关系式，利用勾股定理的逆定理判断出B为直角，然后利用两角差的正弦函数公式化简已知的等式，根据C-A的范围，得到A与C相等，进而得到原三角形为等腰直角三角形．

解答：解：∵（b+c）x²-2ax+（b-c）=0有相等实根，
∴△=4a²-4（b+c）（b-c）=0，（3分）
∴a²+c²-b²=0，
∴B=90°．（3分）
又sinCcosA-cosCsinA=0，
得sin（C-A）=0，（3分）
∵-

π

2

＜C-A＜

π

2

．（2分）
∴A=C．
∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形．（3分）

点评：此题考查学生掌握根的判别式与方程解得关系，会利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．