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已知A、B、C是直线l上的三点,向量
OA
OB
OC
满足
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
o
,(O不在直线l上a>0)
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若函数f(x)在[1,∞]上为增函数,求a的范围;
(3)当a=1时,求证lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
,对n≥2的正整数n成立.
分析:(1)将条件变形,利用A,B,C三点共线,可得(y+1-lnx)-
1-x
ax
=1,从而可得结论;
(2)函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,等价于f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,分离参数,即可求a的范围;
(3)先证明lnx≥1-
1
x
,再将x用
n
n-1
替代,即可证得结论.
解答:(1)解:∵
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
0

OA
=(y+1-lnx)
OB
-
1-x
ax
OC

∵A,B,C三点共线
∴(y+1-lnx)-
1-x
ax
=1
∴y=lnx+
1-x
ax

(2)解:f(x)=lnx+
1-x
ax
,∴f′(x)=
1
x
-
1
ax2

∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,
1
x
-
1
ax2
≥0在[1,+∞)上恒成立
a≥
1
x

1
x
≤1
,∴a≥1;
(3)证明:当a=1时,f(x)=lnx+
1
x
-1
由(2)知,x∈[1,+∞)时,f(x)≥f(1)=0
∴lnx≥1-
1
x
(当且仅当x=1时取“=”)
将x用
n
n-1
替代得ln
n
n-1
>1-
n-1
n
=
1
n

∴ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n
n-1
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n

∴lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
点评:本题考查向量知识的运用,考查三点共线,考查函数的单调性,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B、C是直线l上的不同三点,O是l外一点,向量
OA
OB
OC
满足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
,记y=f(x);
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

6、已知a、b、c是直线,α是平面,给出下列命题:
①若a∥b,b⊥c,则a⊥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a∥α,b?α,则a∥b;④若a⊥α,b?α,则a⊥b;
⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a、b都垂直.
其中真命题是
①④
.(把符合条件的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B、C是直线l上不同的三点,O是l外一点,向量
OA
OB
OC
满足:
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
.记y=f(x).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式:
(Ⅱ)若对任意x∈[
1
6
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f'(x)-3x]>0恒成立,求实数a的取值范围:
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=2x+b在(0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a、b、c是直线,β是平面,给出下列命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a∥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥β,a?α,α∩β=b则a‖b;
④若a与b异面,且a∥β,则b与β相交;
其中真命题的序号是
②③
②③
.(要求写出所有真命题的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B、C是直线l上的不同的三点,O是外一点,则向量
OA
OB
OC
满足:
OA
OB
OC
,其中λ+μ=1.
(1)若A、B、C三点共线且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立.记y=f(x),求函数y=f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈[
1
6
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f(x)-3x]>0恒成立,求实数a的取值范围.

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