Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量 

m

=(sinB，cos2B)，

n

=(sinA+sinC，1)且

m

•

n

=1
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=

2π

3

，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的坐标表示得到含有A、B、C的三角等式，由正弦定理转化为边的关系得答案；
（2）写出含有角C的余弦定理，把c用a和b的代数式表示，整理后即可得到答案．

解答：解：（1）由向量 

m

=(sinB，cos2B)，

n

=(sinA+sinC，1)，且

m

•

n

=1，
得sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC+1-2sin²B=1．
故sinAsinB+sinBsinC=2sin²B．
∵sinB不为0，∴sinA+sinC=2sinB，
再由正弦定理得a+c=2b，
∴a，b，c成等差数列；
（2）由余弦定理知c²=a²+b²-2accosC，
得(2b-a)2=a2+b2-2accos

2π

3

，
即4b2-4ab+a2=a2+b2-2a(2b-a)×(-

1

2

)，
化简得：

a

b

=

3

5

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理的应用，训练了等差中项概念在解题中的应用，考查了运算能力，是中档题．