Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在递增，在递减，在递增（2）

【解析】

（1）先求函数的定义域以及导数，然后根据导数的零点与的大小关系确定分类讨论的标准，再结合的符号讨论函数的单调性.

（2）结合函数的单调性，求出，则问题转化为对于任意恒成立问题，再求出，的最大值，即可求出的范围.

解：（1）的定义域是，

，

①当时，令，解得：，或，

令，解得：，

故在递增，在递减，在递增，

②当时，，在递增，

③当时，令，解得：，或，

令，解得：；

故在递增，在递减，在递增；

（2）由（1）知时，在递增，

故在递增，

故，

要使不等式在恒成立，

只需，

记，则，

故在递增，的最大值是，

故，

故的范围是．