Question

16．直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）被曲线x²-y²=1截得的弦长是4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 将直线的参数方程，代入曲线x²-y²=1，利用参几何意义，即可求弦长．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入x²-y²=1，可得t²-（4-4$\sqrt{3}$）t+2=0，
设方程的根为t₁，t₂，∴t₁+t₂=4-4$\sqrt{3}$，t₁t₂=2，
∴曲线C被直线l截得的弦长为|t₁-t₂|=$\sqrt{（4-4\sqrt{3}）^{2}-8}$=$\sqrt{56-32\sqrt{3}}$=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．