Question

1．直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t为参数），抛物线C的方程y²=2x，l与C交于P₁、P₂，求点A（0，2）到P₁，P₂两点的距离和是4$\sqrt{3+4\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 令2t=T，则x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$T，y=2-$\frac{1}{2}$T，则|T|表示直线上任一点到（0，2）的距离，将x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$T，y=2-$\frac{1}{2}$T代入y²=2x，则点A（0，2）到P₁，P₂两点的距离之和等于|T₁-T₂|，即可得出结论．

解答 解：令2t=T，则x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$T，y=2-$\frac{1}{2}$T，则|T|表示直线上任一点到（0，2）的距离，
将x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$T，y=2-$\frac{1}{2}$T代入y²=2x得：（2-$\frac{1}{2}$T）²=$\sqrt{3}$T，化简得：T²-4（2+$\sqrt{3}$）T+16=0，
则点A（0，2）到P₁，P₂两点的距离之和等于|T₁-T₂|=$\sqrt{[4（2+\sqrt{3}）]^{2}-64}$=4$\sqrt{3+4\sqrt{3}}$，
故答案为：4$\sqrt{3+4\sqrt{3}}$．

点评 本题考查直线的参数方程，考查参数几何意义的运用，比较基础．