【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax,其中e为自然对数的底数,a为常数.
(1)若对函数f(x)存在极小值,且极小值为0,求a的值;
(2)若对任意x∈[0, ],不等式f(x)≥ex(1﹣sinx)恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ex﹣ax,∴f′(x)=ex﹣a,
当a≤0时,f′(x)>0,函数在R上是增函数,从而函数不存在极值,不合题意;
当a>0时,由f′(x)>0,可得x>lna,由f′(x)<0,可得x<lna,∴x=lna为函数的极小值点,
由已知,f(lna)=0,即lna=1,∴a=e
(2)解:不等式f(x)≥ex(1﹣sinx),即exsinx﹣ax≥0,
设g(x)=exsinx﹣ax,则g′(x)=ex(sinx+cosx)﹣a,g″(x)=2excosx,
x∈[0, ]时,g″(x)≥0,则g′(x)在x∈[0, ]时为增函数,∴g′(x)=g′(0)=1﹣a.
①1﹣a≥0,即a≤1时,g′(x)>0,g(x)在x∈[0, ]时为增函数,∴g(x)min=g(0)=0,此时g(x)≥0恒成立;
②1﹣a<0,即a>1时,存在x0∈[0, ],使得g′(x0)<0,从而x∈(0,x0)时,g′(x)<0,∴g(x)在[0,x0]上是减函数,
∴x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,不符合题意.
综上,a的取值范围是(﹣∞,1].
【解析】(1)求导函数,对a讨论,确定函数的单调性,利用函数f(x)存在极小值,且极小值为0,可求a的值;(2)对任意x∈[0, ],不等式f(x)≥ex(1﹣sinx)恒成立,等价于对任意x∈[0, ],不等式exsinx﹣ax≥0恒成立,构造新函数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分16分)平面直角坐标系xoy中,直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
(1)求圆O的方程;
(2)若直线与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线的方程;
(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形中, = == 分别在上, ,现将四边形沿折起,使.
(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,| |=5,20a +15b +12c = , =2 ,则 的值为( )
A.
B.﹣
C.﹣
D.﹣8
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