Question

求经过圆x²+y²+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点且在y轴上的弦长为2

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的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：待定系数法

分析：凡是经过圆x²+y²+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点的圆的方程可以设为（x²+y²+8x-6y+21）+k（x-y+5）=0，再由弦长待定k．

解答： 解：设所求的圆的方程为（x²+y²+8x-6y+21）+k（x-y+5）=0，且与y轴的交点坐标为y₁、y₂，
令x=0得（y²-6y+21）+k（-y+5）=0，化简得y²-（k+6）y+21+5k=0
∴y₁+y₂=k+6，y₁•y₂=5k+21，
由|y₁-y₂|=2

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两边平方得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=132
∴（k+6）²-4（5k+21）=132，化简得k²-8k-180=0
解得k=-10或k=18
∴所求圆的方程为（x²+y²+8x-6y+21）-10（x-y+5）=0，或（x²+y²+8x-6y+21）+18（x-y+5）=0
∴所求圆的方程为x²+y²-2x+4y-29=0或x²+y²+26x-24y+111=0

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，如果牵扯到弦长问题，通常考虑韦达定理．