Question

7．已知等比数列{a_n}的前项和为S_n，S_n=2a_n+a，a₃=4．
（1）求a的值；
（2）若等差数列{b_n}的公差为d，且a₂=2b₁，b₂（b₁+b₄）＜$\frac{4}{15}{S}_{4}$，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，a₁=2a₁+a，a₁+a₂=2a₂+a，所以a₁=-a，a₂=-2a，结合等比数列{a_n}的a₃=4，求a的值；
（2）求出b₁=1，利用b₂（b₁+b₄）＜$\frac{4}{15}{S}_{4}$，可得（1+d）（2+3d）＜$\frac{4}{15}$×$\frac{1×（1-{2}^{4}）}{1-2}$，即可求d的取值范围．

解答 解：（1）由题意，a₁=2a₁+a，a₁+a₂=2a₂+a，
∴a₁=-a，a₂=-2a，
∵等比数列{a_n}的a₃=4，
∴4a²=-4a，
∵等比数列中的项不能为0，∴a=-1；
（2）∵等差数列{b_n}的公差为d，且a₂=2b₁，
∴b₁=1，
∵b₂（b₁+b₄）＜$\frac{4}{15}{S}_{4}$，
∴（1+d）（2+3d）＜$\frac{4}{15}$×$\frac{1×（1-{2}^{4}）}{1-2}$，
∴3d²+5d-2＜0，
∴-2＜d＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．