Question

20．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求∠A；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b、c；
（3）若a=2，求b+c的范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，将sinB=sin（A+C）代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinC不为0，再利用万能公式化简求出tan$\frac{A}{2}$的值，即可确定出A的度数．
（2）由△ABC的面积为$\sqrt{3}$，解得bc=4．①由已知结合余弦定理可得b²+c²=8．②，由①解得b代入②可得c，b的值．
（3）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，即$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan$\frac{A}{2}$=$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，可解得：bc=4．①
∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b²+c²-2bccosA，可解得：b²+c²=8．②
∴由①解得b=$\frac{4}{c}$，代入②可得：c=2，从而解得，b=2．
（3）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则4=b²+c²-bc，∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化简得，（b+c）²≤16（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤4，又b+c＞a=2，
综上得，b+c的取值范围是（2，4]．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查了正弦定理与余弦定理的应用，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，综合性强，属于中档题．