Question

8．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，非零向量$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x，y∈R，若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|x|}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的公式进行化简求解，结合一元二次函数的性质即可求出最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，非零向量$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x，y∈R，若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则|$\overrightarrow{b}$|²=（x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}$，
则$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|x|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}}{|x|}$=$\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}+\sqrt{3}（\frac{y}{x}）}$=$\sqrt{（\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$$≥\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
当且仅当$\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$时，取等号，
故选：B

点评 本题主要考查向量数量积的应用，求出对应的向量长度，转化为一元二次函数是解决本题的关键．