Question

19．在△ABC中，D为边AC上一点，AB=AC=6，AD=4，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BD=6．

Answer 1

分析 作出图形，求出BO：OD=3：2，设OB=3a，则OD=2a，DE=a，由相交弦定理可得4×2=a×5a，可得a，再利用余弦定理，即可得出结论．

解答 解：如图所示，∵AB=AC=6，AD=4，O是△ABC的外心，
AO平分∠BAC，由内角平分线定理可知：BO：OD=3：2，
设OB=3a，则OD=2a，DE=a，
由相交弦定理可得4×2=a×5a，
∴a=$\sqrt{\frac{8}{5}}$，
∴△ABD中，cosA=$\frac{36+16-40}{2×6×4}$=$\frac{1}{4}$，
△ABC中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=36+9-2×6×3×$\frac{1}{4}$=36，
则BD=6．
故答案为：6．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的外心，相交弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．