Question

11．已知a＞0，b＞1，且2a+b=4，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞1，且2a+b=4，∴2a+b-1=3．
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$=$\frac{1}{3}（2a+b-1）$$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b-1}）$=$\frac{1}{3}（4+\frac{b-1}{a}+\frac{4a}{b-1}）$≥$\frac{1}{3}（4+2\sqrt{\frac{b-1}{a}•\frac{4a}{b-1}}）$=$\frac{8}{3}$，当且仅当b-1=2a=$\frac{3}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$的最小值为$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了变形能力，属于基础题．