Question

16．已知函数f（x）=（1-$\sqrt{3}$tan2x）cos2x+2cos²（$\frac{π}{6}$-x）-1．
（1）求f（x）的最小正周期及值域；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据余弦函数的周期性和值域，求得f（x）的最小正周期及值域．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得g（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（1-$\sqrt{3}$tan2x）cos2x+2cos²（$\frac{π}{6}$-x）-1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+cos（$\frac{π}{3}$-2x）
=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{3}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，值域为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到函数g（x）=$\sqrt{3}$cos[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$cos2x的图象，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，可得g（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，可得g（x）的单调减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，余弦函数的值域和单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．