Question

1．若函数g（x）=f（x）sinx为R上的偶函数，且x∈（-∞，0]时，f（x）=e^x+2x²+a-1，则f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=（e^-1-4）x-2e^-1+3．

Answer 1

分析 由题意可得y=f（x）为奇函数，f（0）=0，可得a=0，当x＞0时，-x＜0，即可求得f（x）在x＞0的解析式，求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可求得切线方程．

解答 解：g（x）=f（x）sinx为R上的偶函数，
由y=sinx为奇函数，则y=f（x）为奇函数，
即有f（0）=0，e⁰+0+a-1=0，
解得a=0，
即有f（x）=e^x+2x²-1，x＜0，
当x＞0时，-x＜0，f（-x）=e^-x+2x²-1，
由f（-x）=-f（x），
可得x＞0时，f（x）=-e^-x-2x²+1，
f′（x）=e^-x-4x，
则f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为k=e^-1-4，
切点为（1，-e^-1-1），
则f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+e^-1+1=（e^-1-4）（x-1），
即为y=（e^-1-4）x-2e^-1+3．
故答案为：y=（e^-1-4）x-2e^-1+3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性的运用：求函数解析式，考查运算能力，属于中档题．