Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，若$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{x}$与$\overrightarrow{y}$的夹角的余弦值是$-\frac{\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 根据数量积的计算公式求出$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{{\overrightarrow{x}}^{2}}，|\overrightarrow{y}|=\sqrt{{\overrightarrow{y}}^{2}}$，然后带入向量夹角的余弦公式即可求出向量$\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}$夹角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=$7\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{b}}^{2}=\frac{7}{2}-2-3=-\frac{3}{2}$；
$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}=\sqrt{4-2+1}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{y}|=\sqrt{9{\overrightarrow{b}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{a}}^{2}}=\sqrt{9-3+1}=\sqrt{7}$；
∴$cos＜\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}＞=\frac{\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}=-\frac{\sqrt{21}}{14}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，求向量$\overrightarrow{x}$长度的方法：$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{{\overrightarrow{x}}^{2}}$，以及向量夹角的余弦公式．