Question

20．在△ABC中，已知a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，cosA=$\frac{2}{3}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式可得bc≤$\frac{9}{4}$．由cosA，利用同角三角函数关系式可得sinA．再利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA即可得出△ABC面积的最大值．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴$\frac{6}{4}$=b2+c2-$\frac{4}{3}$bc≥2bc-$\frac{4}{3}$bc=$\frac{2}{3}$bc，化为bc≤$\frac{9}{4}$．当且仅当b=c时取等号．
∵cosA=$\frac{2}{3}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{\sqrt{5}}{6}×\frac{9}{4}$=$\frac{3\sqrt{5}}{8}$，当且仅当b=c时取等号．
∴△ABC的面积S的最大值为$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．