Question

11．已知数列{a_n}（n∈N⁺）的前N项和为S_n，满足$\frac{n}{2}$a_n，且a₂=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N⁺），对任意的正整数k，将集合（b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（3）对（2）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数．

Answer 1

分析 （1）根据数列前n项和与项之间的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N⁺）的表达式，结合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，结合等比数列的定义进行证明即可证明数列{d_k}为等比数列；
（3）求出公差d_k，根据集合元素关系即可得到结论．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n，
∴S_n-1=$\frac{n-1}{2}$a_n-1，
当n≥2时，两式相减得a_n=$\frac{n}{2}$a_n-$\frac{n-1}{2}$a_n-1，
即a_n=n-1．
（2）b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{4}{15}$•（-2）^n-1，
则b_2k-1=$\frac{4}{15}$•（-2）^2k-2=$\frac{4}{15}$•2^2k-2，
b_2k=$\frac{4}{15}$•（-2）^2k-1=-$\frac{4}{15}$•2^2k-1，
b_2k+1=$\frac{4}{15}$•（-2）^2k=$\frac{4}{15}$•2^2k，
若对任意的正整数k，将集合（b_2k，b_2k-1，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，
则b_2k+b_2k+1=2b_2k-1，
则d_k=b_2k+1-b_2k-1=$\frac{4}{15}$•2^2k-$\frac{4}{15}$•2^2k-2=$\frac{{4}^{k}}{5}$，
即$\frac{{d}_{k+1}}{{d}_{k}}=4$为常数，即数列{d_k}为等比数列；
（3）①当k是奇数时，d_k=$\frac{{4}^{k}}{5}$，
同样，可得，d_k+1=$\frac{{4}^{k+1}}{5}$，
∴集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为（d_k+1-$\frac{1}{5}$）-（d_k+$\frac{1}{5}$）+1=d_k+1-d_k+$\frac{2}{5}$=$\frac{2（1+{4}^{k}）}{5}$．
②当k为偶数是，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为$\frac{2（1+{4}^{k}）}{5}$．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的应用，根据条件求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．