Question

10．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），部分图象如图所示，PQ分别为图象的最高点和最低点，PR⊥x轴于R（$\frac{1}{2}$，0）点，∠RPQ=45°，|PQ|=2$\sqrt{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（m）=$\frac{3}{5}$，求sinmπ

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象，求出函数的最值和周期即可求f（x）的解析式；
（2）利用条件，结合余弦函数的倍角公式将条件进行化简即可．

解答 解：（1）∵R（$\frac{1}{2}$，0）点，∠RPQ=45°，|PQ|=2$\sqrt{2}$．
∴|OP|=$\sqrt{2}$，|PR|=|AR|=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
即A=1，函数的周期T=4|OR|=4，
则T=$\frac{2π}{ω}$=4，则ω=$\frac{π}{2}$，
即f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+φ），
∵P（$\frac{1}{2}$，1），
∴f（$\frac{1}{2}$）=cos（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=1，
则$\frac{π}{4}$+φ=kπ，
即φ=kπ-$\frac{π}{4}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{4}$，则f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
（2）若f（m）=$\frac{3}{5}$，
则cos（$\frac{π}{2}$m-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
即cos[$\frac{1}{2}$（mπ-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{3}{5}$，
则sinmπ=cos（mπ-$\frac{π}{2}$）=2cos²[$\frac{1}{2}$（mπ-$\frac{π}{2}$）]-1=2×（$\frac{3}{5}$）²-1=-$\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的应用．